Numeri più che complessi: i quaternioni

Un giorno un matematico irlandese, tale William Rowan Hamilton, non soddisfatto dei soli numeri complessi, decise di inventare i "quaternioni"; non bastandogli la sola i, aggiunse altre due unità immaginarie, j e k. Un quaternione assume dunque la forma:

q = a + ib + jc + kd
(dove a, b, c e d sono reali)

Come al solito, elevando al quadrato una qualunque delle tre unità immaginarie si ottiene -1; tuttavia Hamilton capì che se vogliamo i quaternioni, dobbiamo fare a meno della proprietà commutativa; infatti vale che:

ij = k;	jk = i;	ki = j;
ji = -k;	kj = -i;	ik = -j.

I più "esperti" avranno notato una certa somiglianza con il prodotto vettoriale fra i versori dello spazio cartesiano; in effetti si può stabilire una corrispondenza biunivoca fra quaternioni puri (senza parte reale) e i punti dello spazio. Questa relazione risulta utile per molte applicazioni pratiche.

Se i numeri reali sono un sottinsieme dei numeri complessi, anche i numeri complessi sono un sottoinsieme dei quaternioni, i numeri "ipercomplessi", per c = 0 e d = 0. Se per i quaternioni non vale la proprietà commutativa della moltiplicazione, questo non vuol dire che non valga più per i complessi o per i reali.

State anche voi pensando quello che penso io? Utilizziamo la formuletta di prima:

con i quaternioni...

segue: ...E IPERFRATTALI

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