L'insieme di Mandelbrot
Cos'è c?
Si tratta di un parametro (complesso!) che può essere scelto a piacere; a seconda
di c, avremo risultati diversi.
Come si usa questa formula?
Con un computer, si prende in esame una parte del piano di
Argand-Gauss (dove stanno i numeri complessi), per esempio, con la parte
reale compresa fra -2,25 e 0,75 e parte immaginaria tra -1,5 e 1,5. Ad
ogni punto del piano si può associare la successione definita con quella
formula, ponendo x0 pari al valore del punto del piano.
Tali successioni possono:
- divergere: il modulo di xn cresce all'infinito all'aumentare di n;
- non divergere: il modulo di xn si mantiene "piccolo".
(ricordo che il modulo è la "distanza" del punto dall'origine).
Al computer diciamo di colorare di verde scuro i punti per cui
la successione non diverge, e di un colore chiaro quelli per cui diverge.
Come c scegliamo x0:
Cosa potrà venire fuori? Non lo immaginereste mai...
l'insieme di Mandelbrot
Incredibile, ma vero. Tutto viene da quella formuletta là sopra.
Facciamone un (forte) ingrandimento in corrispondenza della "frontiera":
ora si capisce cosa intendevo per "superficie finita con bordo infinito": potreste continuare a zoomare, ma il bordo vi apparirà sempre frastagliato. Se poteste misurarlo, sarebbe infinitamente lungo. E si capisce anche il concetto di "autosomiglianza": ingrandite quanto vi pare, ma le forme sono sempre quelle. Guardate ad esempio: ora zoomiamo su di una di quelle macchioline scure isolate che compaiono in quest'ultima immagine, nei pressi di quelle strutture a "ventaglio":
Sembra proprio simile alla prima immagine! E si potrebbe ingrandire ancora... e il risultato sarebbe lo stesso.
Indubbiamente queste immagini sono molto affascinanti già di
per sé, ma per ottenere un buon effetto bisogna utilizzare i colori giusti. Come già detto,
in queste immagini il verde scuro indica i punti in cui non si ha divergenza, mentre i colori
chiari sono sinonimo di divergenza; le diverse sfumature di verde chiaro dipendono dalla
velocità di divergenza.
Un effetto simpatico si può ottenere facendo variare i colori,
come avveniva nelle due animazioni che avete visto nella pagina iniziale.
(scarica il programma in basic che disegna questa curva)
segue: GLI INSIEMI DI JULIA
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