Iperfrattali
Applicare la formula:
ai quaternioni apre un mare di nuove possibilità. Se prima i numeri complessi avevano due parametri, la parte reale e la parte immaginaria, ora i quaternioni ne hanno ben quattro:
q = a + ib + jc + kd
I numeri complessi potevano essere disegnati su di un piano, un ente
bidimensionale. Ma per i quaternioni non basta: ci vorrebbe un'entità
a quattro dimensioni. Ma non esiste, su questa terra. Quindi ci accontenteremo
di vedere delle "fette" bidimensionali di frattali quadridimensionali.
Come si fa ad avere una "fetta" bidimensionale? Nulla di difficile: se
i quaternioni hanno quattro parametri, se ne fissano due
arbitrariamente e ne restano due variabili: così la figura è piana.
Il salto che stiamo facendo, passando dai frattali dei numeri complessi agli "iperfrattali" è paragonabile a
quello di una persona che, abituata a viaggiare sulla superficie della terra, d'un tratto ha la possibilità di viaggiare
nello spazio e nel tempo.
Mi sembra giusto far notare che, come i numeri complessi sono un
sottoinsieme dei quaternioni, così i frattali che abbiamo visto prima
sono un sottoinsieme degli iperfrattali, quando c = a + ib e basta, e quando si
guardano "fette" dello spazio quadridimensionale lasciando variabili la parte
reale e la parte immaginaria associata ad i.
Essenzialmente dunque ci si aprono
due tipi di nuove prospettive:
- possiamo scegliere valori di c ipercomplessi, con più parti immaginarie;
- possiamo prendere "fette" di spazio in cui siano variabili non la parte reale e la parte immaginaria associata ad i, ma gli altri parametri.
Cominciamo ad esplorare la seconda possibilità. Prendiamo un frattale come
quelli di prima, c = 0,3742 + 0,3742i. E' uno dei cosiddetti "insiemi di Julia",
anche abbastanza bello:
merita un ingrandimento, anche perché qui si vede davvero bene il concetto dell'autosomiglianza: ci sono delle spirali che, ingrandite, si rivelano formate da altre spirali che a loro volta...
Bene. Le immagini sopra erano sul consueto piano di Argand-Gauss, quello delle unità reali (d'ora in poi le chiamerò u per brevità) e delle i, il piano "ui". Questo equivale a dire che
abbiamo tagliato una fetta in cui i numeri che moltiplicano la j e la k del quaternione sono zero.
Ora invece tagliamo una "fetta" nel piano "uj". Guardate un po':
L'impressione è quella di avere strutture simili a quelle del frattale nel piano "ui", ma qui, nel piano "uj", sembrano in qualche modo deformate. Zoomiamo nella zona centrale.
Adesso proviamo invece ad usare un valore di c ipercomplesso, per esempio: c = 0,39i + 0,39j + 0,39k. Ecco il risultato:
Come prima, le strutture sembrano più o meno le stesse, ma deformate. Ingrandiamo una di quelle spirali:
In ultimo, vi propongo un c = 0,27334 + 0,00742j:
una forma molto particolare, la ingrandiamo nei pressi della "caverna" centrale:
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