6.18

Una sfera (di raggio R) di materiale con comportamento magnetico lineare è posta in un campo magnetico che sarebbe altrimenti costante:

.

Calcolare il campo dentro la sfera.

Non ci sono correnti libere, per cui:

e quindi il campo è esprimibile come gradiente di un potenziale scalare:

si può calcolare il laplaciano:

che è nullo ovunque tranne che sulla superficie; ciò permette di sfruttare il metodo di separazione delle variabili in coordinate sferiche:

come riferimento per il potenziale è bene scegliere il piano XY dove il potenziale è costante e fissato a 0. Per cui (1: sfera, 2: spazio vuoto):

il potenziale nella sfera "scoppia" a meno che B_l = 0, da cui:

con le giuste condizioni al contorno:

(3): i C_l sono tutti nulli tranne che quello di indice 1:

(1):

e si deve usare ancora la proprietà di ortogonalità dei polinomi:

(2):

e ancora il solito trucco di Fourier:

e dunque:

da cui si può ricavare il campo H nella sfera:

e infine, il campo magnetico: