4.24

E’ data una sfera di raggio a di materiale conduttore, ricoperta di un guscio di isolante fino al raggio b. Il corpo è immerso in un campo elettrico che sarebbe altrimenti costante:

.

Lo spazio è suddiviso in 3 regioni:

• la regione 0: l’interno del conduttore
• la regione 1: il guscio dielettrico
• la regione 2: lo spazio vuoto che sta al di fuori.

La soluzione generale dell’equazione di Laplace in coordinate sferiche (con invarianza rispetto alla rotazione attorno a Z) è:

come riferimento per il potenziale è bene scegliere il conduttore (zona 0) dove il potenziale è costante e fissato a 0. Per le altre due zone:

con le giuste condizioni al contorno:

(4): i C_l sono tutti nulli tranne che quello di indice 1:

(1):

si sfrutta l’ortogonalità dei polinomi di Legendre:

(2):

e si deve usare ancora la proprietà di ortogonalità dei polinomi:

(3):

e ancora il solito trucco di Fourier:

e dunque:

da cui si può ricavare il campo nel dielettrico: