3.25

Calcolare il potenziale all’esterno e all’interno di un cilindro con densità di carica:

.

Si immagini il cilindro (di raggio R) disposto con l’asse lungo Z; serve la soluzione dell’equazione di Laplace in coordinate cilindriche:

come riferimento per il potenziale è bene scegliere l’infinito: il conduttore è complessivamente neutro (facile la verifica) perciò la cosa è possibile. Siano V₀ e V₁ rispettivamente il potenziale all’interno e all’esterno: si possono subito eliminare i termini che lo fanno "scoppiare":

ed ecco le rimanenti condizioni al contorno:

(1):

si sfrutta l’ortogonalità dei seni:

e poi quella dei coseni:

(2):

proprio come prima, si sfrutta l’ortogonalità dei seni e dei coseni: il termine di destra è diverso da 0 solo per k = 5, quando si integra con il seno:

e tutti gli altri coefficienti sono nulli.

Alla fine, il risultato è: