3.24

Calcolare il potenziale all’esterno e la carica indotta sulla superficie di un cilindro metallico infinito posto in un campo elettrico che sarebbe altrimenti uniforme (perpendicolare al cilindro).

Si immagini il cilindro (di raggio R) disposto con l’asse lungo Z. Sia:

.

Serve la soluzione dell’equazione di Laplace in coordinate cilindriche:

come riferimento per il potenziale è bene scegliere il conduttore (zona 0) dove il potenziale è costante e fissato a 0:

con le giuste condizioni al contorno:

(2): A₀, B₀ e gli A_k sono nulli; i B_k sono tutti nulli tranne che quello di indice 1:

(1):

si sfrutta l’ortogonalità dei seni:

e poi quella dei coseni:

perciò anche i D_k sono tutti nulli tranne quello d’indice 1:

Alla fine, il risultato (potenziale all’esterno del cilindro) è:

Per trovare la carica indotta, esiste una apposita formula: