3.23
Risolvere l’equazione di Laplace in coordinate cilindriche, ipotizzando nessuna dipendenza da z.
SOLUZIONE:
Bisogna scrivere il laplaciano in coordinate cilindriche e separare le variabili:
tale somma dà 0 solo se entrambi i termini sono costanti di somma 0; la natura del problema implica che la costante per F sia negativa in modo da avere funzioni periodiche:
La soluzione della prima equazione è:
1) per k ¹ 0:
2) per k = 0, l’equazione diventa a variabili separabili:
La soluzione dell’altra equazione differenziale è il solito esponenziale complesso:
ma non tutti i k sono accettabili: solo quelli che rendono la funzione periodica di 2p (un giro attorno all’asse Z), cioè gli interi positivi.
Dunque, la soluzione generica assume le forme:
data la linearità dell’equazione di Laplace, una combinazione lineare di queste soluzioni è ancora soluzione; la soluzione generale è dunque (rimaneggiando le costanti):
Per ulteriori approfondimenti sull'equazione di Laplace è possibile consultare la sezione di Aerodinamica di questo sito.
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