3.15

E’ data una scatola metallica cubica (con uno dei vertici inferiori posto nell’origine), di lato a. Tutte le facce sono messe a terra tranne quella superiore che è isolata dalle altre e mantenuta a potenziale costante V₀. Calcolare il potenziale dentro il cubo.

Serve la soluzione dell’equazione di Laplace in coordinate cartesiane:

tale somma dà 0 solo se tutti i termini sono costanti di somma 0; la simmetria del problema implica che le costanti per X e Y siano negative in modo da avere funzioni periodiche:

dato che nelle facce laterali il potenziale è 0:

1) scartiamo i coseni: in 0 valgono sempre 1, e non va bene;

2) non tutti i valori di g e c sono accettabili: solo quelli che lì rendono 0 il potenziale;

inoltre, per z = 0 il potenziale è 0, per cui E + F = 0:

(n, m interi positivi)

da cui la soluzione generale, ottenuta dalla combinazione lineare delle soluzioni particolari (accorpando le costanti):

e ora il solito trucco di Fourier (z = a):

i seni sono ortogonali, per ne cui rimangono solo due in ogni espressione:

il membro di destra è nullo se m o n sono pari, altrimenti:

alla luce di questa scoperta, basta inserire i giusti coefficienti e il problema è risolto.