Dai complessi ai frattali
Lasciamo ora temporaneamente da parte i numeri complessi, per percorrere la strada che conduce ai
frattali.
Considerate la formula:
Tale formula definisce una successione di numeri; n può assumere tutti i valori interi a partire da 1: x1 è il primo numero, x2 il secondo, e così via. Per partire è necessario scegliere un valore di partenza arbitrario, x0. In pratica quella formula spiega come ricavare una infinità di numeri che sono disposti in un certo ordine, così:
Da dove viene quella formula? E cos'è r?
La formula è una semplificazione di una relazione leggermente più complessa detta "legge di Verhulst"; essa viene
usata per calcolare la crescita delle popolazioni che hanno a disposizione una quantità limitata di risorse.
La r rappresenta il tasso di crescita cha la popolazione avrebbe se le risorse fossero illimitate (ad esempio:
se in media ogni coppia dà alla luce 1 figlio all'anno, r = 0,5 poiché se ogni anno da 2 individui se ne origina un'altro, allora da 1 se ne origina... mezzo).
Quindi: se x0 è il numero di individui viventi nell'anno 0, nell'anno 1
ci saranno x1 individui.
Questo modello funziona solo per valori di r minori di 1. Ma a noi interessa proprio
quello che succede per i valori di r > 1 anzi, r > 1,9.
Il computer ci può mostrare cosa succede con un grafico. Sull'asse orizzontale disporremo le r, per i valori di compresi fra 1,9 e 3. Sull'asse verticale, le xn.
Ad ogni r è associata una particolare successione di xn. Ne calcoliamo
i primi 500 valori, fino a x500, e li buttiamo via. Poi ne calcoliamo altri 200
e li segnamo sul grafico (sulla verticale del valore della r corrispondente).
Cosa immaginate che possa venire fuori? Qualcosa di stupendo:
la curva di Verhulst
All'inizio si ha una linea continua, per valori di r che arrivano fino a 2. Ciò significa che da x500 in poi, se 1,9 < r < 2, i valori di xn sono più o meno tutti uguali. Oltre 2 succede una cosa strana: chissà perché, i valori di x500 non sono più costanti ma oscillano fra due alternative. Peggio ancora: da 2,5 in poi, i valori sono 4. Poi diventano 8, poi 16 e poi... bho! Si perde il conto, ma l'immagine che si ha è decisamente affascinante. Più avanti sembra che si ricrei una oscillazione triplice, ma subito ci si perde nuovamente.
(scarica il programma in basic che disegna questa curva)
Questa "curva di Verhulst" è il primo frattale che incontriamo. Ma cos'è un frattale?
Il nome deriverebbe dal fatto che si tratta di "figure a dimensione frazionaria". Cosa significhi
questa espressione non lo so, ma sono abbastanza convinto che lo stesso ideatore di questo nome
abbia dei dubbi al riguardo. Lasciamo stare dunque i nomi e vediamone le proprietà:
- i frattali sono figure infinitamente complesse: se le si ingrandisce, il "paesaggio" non cambia;
- i frattali sono "autosomiglianti": la parte è simile al tutto;
- (non vale per la curva di Verhulst) i frattali sono superfici finite che hanno un bordo di lunghezza infinita.
Ma vedremo meglio queste cose su altri frattali.
Un matematico francese, tale Benoit Mandelbrot, ebbe l'idea di applicare una versione semplificata
di quella formula ai numeri complessi (eccoli!). La formula è:
Ma attenzione! Insisto: questa volta, xn e c sono numeri complessi, con la loro parte reale e la loro parte immaginaria.
segue: L'INSIEME DI MANDELBROT
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